مرجع دانلود پاورپوینت های درسی

حجم فایل : 346.9 KB
نوع فایل : پاور پوینت
تعداد اسلاید ها : 27
بنام خدا فصل هفتم: تکنیک های پیشرفته شمارش

بخش 7.1
روابط بازگشتی (Recurrence Relations) Rabbits Numbers - Leonardo Pisano 3 رابطه های بازگشتی یک رابطه بازگشتی برای دنباله {an} معادله ای است که an را بر پایه ی یک عبارت یا عبارات بیشتر قبلی دنباله a0, a1,…, an-1 ، برای همه اعداد صحیح n با شرط n≥n0 که n0 عددی صحیح و نامنفی است ، بیان می کند. یک دنباله جواب یک رابطه بازگشتی است اگر عباراتش در رابطه بازگشتی صادق باشند. رابطه های بازگشتی رابطه‌ای را بازگشتی می‌نامیم که در آن برای محاسبه هر عنصر نیاز به مقادیر تعدادی از عناصر قبلی آن داشته باشیم و براساس آنها بیان شده باشد.
نقطه مقابل رابطه بازگشتی رابطه صریح می‌باشد که در آن با دانستن شماره عنصر مستقیماً مقدار آن توسط تابع صریح آن پیدا می‌گردد.
رابطه بازگشتی را به صورت زیر می توان بیان نمود (ui عنصر iام از دنباله است) 5 مثال: مسئله برج هانوی 6 مثال: مسئله برج هانوی 7 مثال 8 به چند طریق می‌توان صفحه‌ای با اندازه (n)x2 با موزاییک‌های 2x1 فرش کرد؟ مثال 9 به چند طریق می‌توان صفحه‌ای با اندازه (n)x2 با موزاییک‌های 2x1 فرش کرد؟ مثال n سکه یکسان 50 تومانی داریم. فرض می‌کنیم xn تعداد روش‌هایی باشد که این n سکه را در دو ردیف افقی روی هم چنان مرتب کنیم که هر سکه در ردیف بالا، دقیقاً در فضای خالی دو سکه زیری قرار گرفته باشند.



برای محاسبه xn رابطه بازگشتی بدست آورید. 10 فصل هفتم: تکنیک های پیشرفته شمارش

بخش 7.2
حل روابط بازگشتی خطی
(Solving Linear Recurrence Relations) یک رابطه بازگشتی همگن خطی از درجه k با ضرایب ثابت، رابطه ای بازگشتی به شکل
an= c1an-1 + c2 an-2 + … + ck an-k
که c1 , c2, …,ck اعداد حقیقی و 0 ≠ ck

مثال
fn = fn-1 + fn-2 رابطه بازگشتی همگن خطی ازدرجه k
Linear Homogeneous Recurrence Relation of Degree k حل رابطه های بازگشتی همگن خطی با درجه k با ضرایب ثابت فرض کنیدc1 و c2اعداد حقیقی باشند و r2 - c1r - c2 = 0 (که معادله مشخصه رابطه بازگشتی نامیده می شود) دو ریشه متمایز r1 و r2 داشته باشد. دنباله {an} ، جواب رابطه بازگشتی an= c1an-1 + c2 an-2 است اگر و فقط اگر
an= α1r1n + α2 r2n برای n=0,1,2,… باشد، وقتی که α1 و α2 ثابت باشند.

معادله مشخصه (Characteristics Equation)
ریشه های مشخصه (Characteristics Roots) مثال: رابطه فیبوناچی 14 15 16 فرض کنید c1 و c2و... و ckاعداد حقیقی باشند، و فرض کنید rk - c1rk-1 -…- ck = 0 دارای k ریشه متمایز r1 و r2و...و rkباشد. دنباله {an} ، جواب رابطه بازگشتی
an= c1an-1 + c2 an-2+ … + ck an-k
است اگر و فقط اگر an= α1rn1 + α2 rn2+ … + αk rnk برای n=0,1,2,… باشد، وقتی که α1 و α2 و ... و αk ثا...